Álgebra lineal y geometria - J. Sancho San Roman

El presente curso de Algebra Lineal y Geometría, sigue el temario oficial correspondiente a la asignatura de Algebra Li­neal, del Curso Selectivo (Facultades de Ciencias y Escuelas Técnicas Superiores).

Está redactado sobre las lecciones explicadas por el au­tor durante el curso 1968-69, en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza.


Un curso corno el que nos ocupa, ha de proporcionar una serie de conocimientos necesarios, pero ha de hacerlo de mane­ra que su adquisición sea medio de formación mental, y de de­sarrollo de la capacidad creadora. Información y formación son los dos objetivos a alcanzar, en cuyo adecuado equilibrio está la clave del éxito; se complementan de tal modo, que la desa­tención a cualquiera de ellos, priva automáticamente al otro de una ayuda imprescindible.

Así, dar un curso sin seguir ningún libro en particular, obliga al alumno a tomar y revisar apuntes, lo cual tiene la virtud de ser muy formativo. Pero tiene el defecto de consti­tuir una tarea que, al menos en 1° y 2° año, pocos alumnos son capaces de realizar con suficiente perfección; para la mayoría resulta un obstáculo en vez de una ayuda.


Contenido:
Al otro extremo está el apoyar el curso en un libro de exposición exhaustiva, que da pocas oportunidades al alumno de discurrir en forma original, y le impulsa a una actitud pasiva. Ello se incrementa si la clase no añade nada nuevo a lo expli­cado en el libro.

La posición intermedia hoy más admitida, considera conveniente que el alumno disponga de un texto del curso, pero escrito de manera que, por un lado, le sirva de ayuda en las cuestiones más difíciles para él, y por otro le impulse a desarrollar su capacidad creadora, dejando a su cuidado la resolución de las cuestiones más sencillas.

Preámbulo
Lección 1
1. Conjunto. Notaciones.
2. Símbolos proposicionales. Cuantificadores.
3. Subconjuntos. Intersección y reunión.
4. Conjunto producto.
Lección 2
1. Aplicación. Nomenclatura y notaciones.
2. Composición de aplicaciones.
Lección 3
1. Relación binaria.
2. Propiedades que puede tener una relación binaria sobre un conjunto.
3. Relación de equivalencia.
4. Relación de equivalencia asociada a una aplicación.
5. Relación de orden.
Lección 4
1. Operación binaria interna.
2. 0peraoión estable respecto de una relación de equivalencia.
3. Propiedades que puede tener una operación binaria interna.

1. Vectores libres en el plano ordinario.
5. Operación binaria externa.
Lección 5
1. Estructura algebraica. Homomorfismo.
2. Propiedades de un homomorfismo.
Lección 6
1. Grupo. Primeras propiedades.
2. Subgrupos.
3. Partición estable de un grupo. Subgrupo invariante.
4. Homomorfismo de grupos.
5. Grupo monógeno. Grupo cíclico.
6. Producto cartesiano de grupos.
Lección 7
1. Grupo simétrico S(n). Transposiciones. Ciclos.
2. Clase de una permutación.
Lección 8
1. Anillo. Primeras propiedades.
2. Subanillo. Ideales.
3. Homomorfismo de anillos.
Lección 9
1. Divisibilidad en dominios de integridad.
2. Cuerpo.
Lección 10
2. Espacio vectorial. Generalidades.

4. Operaciones elementales en una matriz. Matrices elementales.
3. Producto cartesiano de espacios vectoriales.
4. Suma e intersección de subespacios. Suma directa.
5. Combinación lineal. Clausura lineal.
Lección 11
1. Sistema ligado de vectores. Sistema libre. Base.
2. Dimensiones de subespacios.
3. Cambio de coordenadas.
Lección 12
1. Aplicación lineal. Primeras propiedades.
2. Imágenes y anti imágenes en una aplicación lineal.
3. Ecuaciones lineales.
4. Conjunto de las aplicaciones lineales de un espacio en otro, o de un espacio en sí.
Lección 13
1. Matrices sobre un cuerpo.
2. Suma y producto por un escalar.
3. Producto de matrices. Propiedades.
5. Anillo de las matrices cuadradas de orden dado.
Lección 14

4. Intersecciones de rectas. Haz lineal de rectas.
1. Matrices de vectores.
2. Aplicaciones del cálculo matricial a las coordenadas.
3. Rango de una matriz.
4. Sistemas de ecuaciones lineales.
Lección 15
1. Punciones multilineales. Expresiones coordenadas.
2. Aplicación transformada por una permutación.
3. Función determinante.
4. Orientación en un espacio vectorial real.
Lección 16
1. Determinante de una matriz cuadrada. Propiedades.
2. Producto de determinantes.
3. Desarrollo por los elementos de una línea.
4. Regla de Cramer.
5. Menores de una matriz arbitrarla.
Lección 17
1. Plano ordinario y plano afín.
2. Sistemas de referencia. Coordenadas.
3. Ecuaciones de rectas. Cuestiones de incidencia.

Lección 21
5. Orientación en el plano afín real.
Lección 18
1. Espacio ordinario y espacio afín.
2. Sistemas de referencia. Coordenadas.
3. Ecuaciones de planos.
4. Ecuaciones de rectas.
5. Intersecciones, de planos. Haz lineal de planos.
6. Posiciones relativas de rectas y planos.
7. Orientación en el espacio afín real.
Lección 19
1. Cuerpo ordenado.
2. Segmentos en el plano o espacio afín real.
3. Semiplanos y regiones convexas del plano afín real.
4. Semiespacios y reglones convexas del espacio afín real.
5. Programación lineal.
Lección 20
1. Forma bilineal sobre un espacio vectorial.
2. Espacio vectorial ortogonal.
3. Clasificación lineal de las formas cuadráticas reales.

3. Distancias. Ángulos. Áreas y volúmenes.
1. Espacio vectorial euclidiano.
2. Ortogonalidad y bases ortonormadas.
3. Clasificación ortogonal de las formas cuadráticas reales.
Lección 22
1. Plano euclidiano. Definiciones.
2. Coordenadas rectangulares. Cambio de coordenadas.
3. Distancias. Ángulos. Áreas.
Lección 23
1. Espacio euclidiano. Coordenadas rectangulares.

2. Producto vectorial. Producto mixto. Identidades.

Formato: .PDF

Peso: 20 MB

Idioma: Español